Der Gesamtwiderstand

Wir kennen jetzt die Spannung zwischen den inneren Knoten (1, 2) und dem Ausgangsknoten (0). Der Rest ist einfach: Mit dem ohmschen Gesetz berechnen wir die beiden vom Ausgangsknoten wegfließenden Ströme:

\eqalign{ I_{01} & = \frac {U_1} {R_{01}} = U_1 \sigma_{01} \cr I_{02} & = \frac {U_1} {R_{02}} = U_2 \sigma_{02} }

Mit der ersten kirchhoffschen Regel berechnen wir nun den Gesamtstrom durch das Netzwerk. Der verteilt sich am Eingangsknoten (0) auf die beiden Zweige nach Knoten 1 und 2:

I = I_{01} + I_{02}

Damit ergibt sich der Gesamtwiderstand:

R = \frac U I = \frac {1V} I
A =  Matrix([[1/5+1/15+1/10, -1/15], [-1/15, 1/25+1/15+1/20]])
b =  ~Vector([1/10, 1/20])
U = A.solve(b)
U1, U2 = U[0,0], U[1,0]
I01 = U1/5
I02 = U2/25
I = I01 + I02
R = 1/I
print("Gesamtwiderstand: {0} Ohm".format(R))

Zusammenfassung des Verfahrens

  1. Die Knoten des Netzwerks von Null bis n durchnummerieren, wobei die Indizes 0 und n für die Anschlussknoten verwendet werden.
  2. Für jede Kante (Widerstand) das ohmsche Gesetz in der Form I = σU hinschreiben.
  3. Für jeden inneren Knoten (1 bis n-1) die 1. kirchhoffsche Regel hinschreiben.
  4. In den in Schritt 3 hingeschriebenen Regeln die Ströme durch die rechten Seiten der Gleichungen aus Schritt 2 ersetzen.
  5. Die Gleichungen aus Schritt 4 nach den Unbekannten U1 bis Un-1 gliedern und U0 auf Null (Volt) und Un auf 1 (Volt) setzen.
  6. Das Gleichungssystem lösen.
  7. Mit Hilfe der nun bekannten Knotenspannungen und des ohmschen Gesetzes die Summe I der vom Knoten Null ausgehenden Ströme berechnen.
    Daraus dann wiederum mit dem ohmschen Gesetz den Gesamtwiderstand (1V/I) berechnen.

Übungsaufgabe

example

Sechs Widerstände von 10 Ω, 12 Ω, 15 Ω, 18 Ω, 22 Ω und 27 Ω werden zu einem Tetraeder verlötet.

Schreiben Sie ein mathGUIde-Programm, das folgendes ausgibt:

  1. Die Anzahl unterschiedlicher möglicher Widerstände zwischen zwei Ecken eines solchen Tetraeders,
  2. den niedrigsten und den höchsten dieser Widerstände,
  3. den größten prozentualen Sprung zwischen zwei aufeinanderfolgenden sortierten Widerständen.

Hinweise