1. Die ersten hundert natürlichen Zahlen
2. Summen von Quadrat- und Kubikzahlen
3. Summen höherer Potenzen
In der nebenstehenden Abbildung sehen Sie die Summe der Quadratzahlen
12 + 22 + 32 + 42 aus Einheitswürfeln.
Mit Halbwürfeln und
Mini-Pyramiden können wir die
Stufenpyramide zu einer glatten Pyramide mit der Grundfläche (n+1)·(n+1)
und der Höhe n+1 ergänzen.
Diese
Pyramide hat also das Volumen (n+1)3/3.
Dazu brauchen wir am Rand der Ebene i (von oben gezählt) 2·i Halbwürfel, außerdem je eine Mini-Pyramide (Volumen 1/3) in jeder Etage und noch eine ganz oben.
Damit ergibt sich:
Mit dem nebenstehend abgebildeten Trick kann man sogar Summen von Kubikzahlen geometrisch darstellen:
Die blauen Rahmen umfassen (von links unten nach rechts oben)Das kann man so für alle ungeraden Zahlen fortsetzen.
In die Zwischenräume packen wir die geraden Kubikzahlen 23 und 43 in Form von 2 Quadraten mit der Kantenlänge 2 und 4 Quadraten mit der Kantenlänge 4. Die Quadrate passen zwar nicht genau, aber die frei bleibenden Flächen werden exakt durch die doppelt belegten Flächen ausgeglichen.
Offenbar ist also 13 + 23 + 33 + 43 + 53
= (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2.
Allgemein gilt demnach die erstaunliche Formel:
Mit der schon bekannten Formel
ergibt sich daraus
Fortsetzung: Summen höherer Potenzen