Die Tabelle drängt die Vermutung auf, dass die Wahrscheinlichkeit sehr schnell gegen einen Wert von ungefähr 0.3679 konvergiert.
Dass diese Vermutung richtig ist, wollen wir uns nun klarmachen.

Ak sei die Menge aller Permutationen, bei denen der k-te Brief im richtigen Umschlag steckt.
Dann ist

P_{\ge 1}(n) = | A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n |

die Anzahl der Permutationen, bei denen mindestens ein Brief im richtigen Umschlag steckt.

Nach dem Prinzip der Ein- und Ausschließung ist daher

\def\green{\bbox[#c0ffc0,2pt]} P_{\ge 1}(n) = \sum_{i=1}^n \left| A_i \right| - \sum_{1\le i<j\le n} \left| A_i \cap A_j \right| + \green{\sum_{1\le i<j<k\le n} \left| A_i \cap A_j \cap A_k \right|} - \ldots \pm \left| \bigcap_{i=1}^n A_i \right|

Den grün unterlegten Term können wir so berechnen: 3 Briefe (i, j, k) aus n Briefen auswählen (und in die richtigen Umschläge stecken), die n-3 übrigen Briefe beliebig verteilen:

\def\blue{\bbox[#c0e0ff,2pt]} \def\ocher{\bbox[#ffe0a0,2pt]} \def\green{\bbox[#c0ffc0,2pt]} \blue{n \choose 3} \ocher{(n-3)!} = \blue{\frac{n!}{3! (n-3)!}} \ocher{(n-3)!} = \green{\frac{n!}{3!}}

Ebenso ergeben sich die übrigen Terme:

\def\green{\bbox[#c0ffc0,2pt]} P_{\ge 1}(n) = \frac{n!}{1!} - \frac{n!}{2!} + \green{\frac{n!}{3!}} - \ldots \pm \frac{n!}{n!} = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} \frac{n!}{k!}

Damit ist die Anzahl der Möglichkeiten, bei denen alle Briefe im falschen Umschlag stecken

P_0(n) = n! - P_{\ge 1}(n) = \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{n!}{k!} = \sum_{k=2}^n (-1)^k \frac{n!}{k!}

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Briefe im falschen Umschlag stecken, ist also

\frac{P_0(n)}{n!} = \sum_{k=2}^n \frac{(-1)^k}{k!}

Die Wahrscheinlichkeit konvergiert mit n. Das erkennt man mit der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion:

\begin{eqnarray} e^x & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \cr e^{-1} & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{{-1}^n}{n!} = \sum_{n=2}^\infty \frac{{-1}^n}{n!} = \lim_{n\to\infty}\frac{P_0(n)}{n!} \end{eqnarray}

Der Grenzwert für die Wahrscheinlichkeit, dass alle Briefe im falschen Umschlag stecken, ist demnach:

exp(-1)