In dieser Präsentation simulieren wir einige Glücksspiele. Alle hier experimentell ermittelten Wahrscheinlichkeiten lassen sich mit den Mitteln der Kombinatorik leicht nachrechnen.
Wir simulieren ein Spiel, bei dem jeder Spieler einen Würfel wirft und die höhere Zahl gewinnt.
wuerfel = (1,2,3,4,5,6) # Die sechs Seiten des Würfels gewonnen = 0 unentschieden = 0 verloren = 0 for i in range(60000): # 60000 mal würfeln a1 = wuerfel[rand(6)] a2 = wuerfel[rand(6)] if a1 > a2: gewonnen += 1 elif a1 < a2: verloren += 1 else: unentschieden += 1 print(gewonnen, "mal gewonnen") print(unentschieden, "mal unentschieden") print(verloren, "mal verloren")
Das Ergebnis ist nicht sehr überraschend: Die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Würfel die gleiche Zahl wie der erste würfelt, ist 1/6. Die übrigen 5/6 verteilen sich auf den Gewinn des einen oder des anderen Würfels, also je 5/12.
Nun testen wir zwei exotische Würfel: Der erste hat zwei Flächen
mit einer Null und vier Seiten mit einer Vier, der zweite hat auf allen
sechs Flächen eine Drei. Der erste Würfel gewinnt immer bei Vier
und verliert immer bei Null.
Offenbar gewinnt also der erste Würfel in 2/3 aller Fälle.
Das überprüfen wir nun experimentell.
wuerfel1 = (0,0,4,4,4,4) wuerfel2 = (3,3,3,3,3,3) gewinn12 = 0 n = 100000 for i in range(n): # n mal würfeln a1 = wuerfel1[rand(6)] a2 = wuerfel2[rand(6)] if a1 > a2: gewinn12 += 1 print(100*gewinn12/n, "%")
Wie wir gesehen haben, ist der erste Würfel „besser“ als der zweite.
Jetzt nehmen wir noch einen dritten und einen vierten Würfen dazu und zählen
zusätzlich, wie oft der zweite gegen den dritten und der dritte
gegen den vierten Würfel gewinnt.
wuerfel1 = (0,0,4,4,4,4) wuerfel2 = (3,3,3,3,3,3) wuerfel3 = (2,2,2,2,6,6) wuerfel4 = (1,1,1,5,5,5) gewinn12, gewinn23, gewinn34 = 0,0,0 n = 100000 for i in range(n): # n mal würfeln a1 = wuerfel1[rand(6)] a2 = wuerfel2[rand(6)] a3 = wuerfel3[rand(6)] a4 = wuerfel4[rand(6)] if a1 > a2: gewinn12 += 1 if a2 > a3: gewinn23 += 1 if a3 > a4: gewinn34 += 1 print("Gewinn 1. gegen 2. Würfel:", 100*gewinn12/n, "%") print("Gewinn 2. gegen 3. Würfel:", 100*gewinn23/n, "%") print("Gewinn 3. gegen 4. Würfel:", 100*gewinn34/n, "%")
Anscheinend ist der erste Würfel „besser“ als der zweite, der zweite Würfel „besser“ als der dritte und der dritte Würfel „besser“ als der vierte.
Wenn Sie nun für ein Wettwürfeln zwischen dem ersten und dem vierten
Würfel wählen könnten, welchen würden Sie nehmen?
Wenn Sie sich entschieden haben, testen Sie bitte einmal:
wuerfel1 = (0,0,4,4,4,4) wuerfel4 = (1,1,1,5,5,5) gewinn14 = 0 n = 100000 for i in range(n): # n mal würfeln a1 = wuerfel1[rand(6)] a4 = wuerfel4[rand(6)] if a1 > a4: gewinn14 += 1 print("Gewinn 1. gegen 4. Würfel:", 100*gewinn14/n, "%")
Möchten Sie Ihre Entscheidung jetzt noch einmal überdenken?
Die vier Würfel haben folgende Belegung der sechs Flächen:
Die folgenden Tabellen zeigen, dass von den 36 Elementarereignissen der zwei Würfel
immer 24 einen Gewinn und 12 einen
Verlust ergeben.
Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist also immer 2/3.
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